Доказать методом математической индукции что n й член арифметической прогрессии


В основе метода математической индукции лежит следующий принцип. Некоторое утверждение Метод доказательства, основанный на использовании этого принципа, называется методом математической индукции. Рассмотрим Доказать, что n-й член арифметической прогрессии равен.

an = a1+ (п. Прогрессии определяются рекуррентными соотношениями, т. е. соотношениями, позволяющими найти следующий член последовательности по одному или нескольким Выведем теперь с помощью математической индукции формулы для сумм членов арифметической и геометрической прогрессий.

Подробно разобраны примеры доказательства тождеств, равенств, неравенств методом математической индукции. относящихся ко всем натуральным числам n, могут быть доказаны методом математической индукции (к примеру, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии формула.

Таким образом, при это равенство выполняется. Его можно непосредственно вывести следующим образом: Полученное равенство есть равенство 3 при Пользуясь методом математической индукции, мы доказали формулу 3.

Доказать методом математической индукции что n й член арифметической прогрессии

Правая часть полученного равенства является правой частью равенства 4 при Итак, равенство 4 истинно при а из его истинности при следует, что оно верно и при Значит, в силу метода математической индукции оно истинно при всех значениях Предоставляем читателю доказать равенство: Полученное равенство есть равенство 3 при Пользуясь методом математической индукции, мы доказали формулу 3.

Выведем, например, с помощью этого метода формулу для суммы квадратов первых натуральных чисел:

Доказать методом математической индукции что n й член арифметической прогрессии

При обе части равенства 4 принимают значение 1. Метод математической индукции позволяет выводить и формулы для многих других сумм. Таким образом, а потому.

Поскольку при тоже равно 1, то наше предположение истинно при Пусть оно истинно при т. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением а геометрическая прогрессия — рекуррентным соотношением Иными словами, само определение этих прогрессий дается с помощью индукции от Поэтому и большинство формул, относящихся к прогрессиям, было бы целесообразно выводить при помощи метода математической индукции.

Выведем, например, с помощью этого метода формулу для суммы квадратов первых натуральных чисел: Сначала замечаем, что в силу формул сокращенного умножения имеем: Полученное равенство является не чем иным, как равенством 1 при Итак, равенство 1 истинно при а из его истинности при следует, что оно истинно и при Значит, оно истинно при всех натуральных значениях Точно так же доказывается, что общий член геометрической прогрессии выражается формулой Выведем теперь с помощью математической индукции формулы для сумм членов арифметической и геометрической прогрессий.

Пусть равенство 4 истинно при Тогда. При оно истинно, поскольку и при равны.

Поскольку при тоже равно 1, то наше предположение истинно при Пусть оно истинно при т. Для арифметической прогрессии имеем:

Прогрессии определяются рекуррентными соотношениями, т. А тогда равенство 5 проще доказывается так: При оно истинно, поскольку и при равны Предположим теперь, что Тогда Равенство 2 можно переписать так:

Иногда бывает, что тщательное изучение доказательства, полученного с помощью математической индукции, позволяет найти более короткое доказательство той же формулы. Свойства чисел C m,n Равенства приводят к индуктивному предположению:

Полученное равенство является не чем иным, как равенством 1 при Итак, равенство 1 истинно при а из его истинности при следует, что оно истинно и при Значит, оно истинно при всех натуральных значениях Точно так же доказывается, что общий член геометрической прогрессии выражается формулой Выведем теперь с помощью математической индукции формулы для сумм членов арифметической и геометрической прогрессий.

Таким образом, при это равенство выполняется. А тогда равенство 5 проще доказывается так:

Некоторые понятия теории вероятностей. По-видимому, естественным моментом введения метода математической индукции в школе могло бы оказаться изучение прогрессий и последовательностей.

Таким образом, при это равенство выполняется. Упорядоченные подмножества и обратимые отображения. При оно истинно, поскольку и при равны. При обе части равенства 4 принимают значение 1. Иногда бывает, что тщательное изучение доказательства, полученного с помощью математической индукции, позволяет найти более короткое доказательство той же формулы.

Например, при выводе формулы общего члена арифметической прогрессии замечаем, что Эти формулы позволяют предположить, что для любого натурального числа истинно равенство Докажем его с помощью математической индукции. Поскольку то равенство 5 верно при Пусть оно верно при Тогда откуда в силу математической индукции получаем, что 5 верно при всех натуральных значениях Центральным местом этого вывода явилось тождество т.

Для арифметической прогрессии имеем: При оно истинно, поскольку и при равны Предположим теперь, что Тогда Равенство 2 можно переписать так:

Равенства приводят к индуктивному предположению: Пусть Из равенств делаем индуктивное предположение, что Доказательство предоставляем закончить читателю. Поскольку то равенство 5 верно при Пусть оно верно при Тогда откуда в силу математической индукции получаем, что 5 верно при всех натуральных значениях Центральным местом этого вывода явилось тождество т.

Комбинаторные задачи геометрического содержания. Пусть Из равенств делаем индуктивное предположение, что Доказательство предоставляем закончить читателю. Иногда бывает, что тщательное изучение доказательства, полученного с помощью математической индукции, позволяет найти более короткое доказательство той же формулы.



Смотретьонлайн порно видео краина
Порно укр звезд онлайн
Развел взрослую соседку на секс
Видео секс т щей
Секс с наринэ порно видео
Читать далее...